Lagrange-Punkte

Lagrange-Punkte sind Punkte in einem System aus zwei sich umkreisenden Körpern (Sterne, Planeten etc), welche in einem mitrotierenden Bezugssystem raumfest sind und in denen ein dritter Körper mit vergleichsweise verschwindend geringer Masse sich dauerhaft aufhalten kann ohne von der Gravitationswirkung der anderen gestört zu werden. Die Summe aller Kräfte auf einen Massepunkt in diesen Punkten muß also Null ergeben.

Ausser der Gravitationskraft der beiden Massen muß auch die Fliehkraft berücksicht werden, die auf alle Körper in einem rotierenden Bezugssystem wirkt.

Die Gravitationskraft einer Masse m_1 am Ort r_1 auf eine Masse m_2 im Punkt r_2 ist

F_G = - G m_1 m_2 (r_2 - r_1)/|r_2 - r_1|^3)

(G = Newtonsche Gravitationskonstante), und die Fliehkraft in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Koordinatenursprung rotierenden Bezugssystem auf einen in der Rotationsebene liegenden Punkt r ist:

F_Z = m ω^2 r

Um die Lagrange-Punkte zu finden sind nun prinzipiell nur noch diese Kräfte zu addieren, und zu überprüfen für welche Punkte die Summe zu Null wird. m sei die Masse des Probekörpers.

F = - G m (m_1 (r_1 - r)/(|r_1 - r|^3) + m_2 (r_2 - r)/|r_2 - r|^3) + m ω^2 r

ω kann man aus dieser Gleichung noch eliminieren, da es durch den Abstand R = |r_1 - r_2| und die Gesamtmasse M = m_1 + m_2 bereits festgelegt ist als

ω= √{GM/R^3}

also gilt an den Lagrangepunkten:

F = - G m (m_1 (r_1 - r)/|r_1 - r|^3 + m_2 (r_2 - r)/|r_2 - r|^3 - M/R^3 r) = 0

Diese Gleichung nach r zu lösen ist "kniffelig", jedoch kann man sich einen Überblick über die Lage der Lagrangepunkte verschaffen, indem man das zu F gehörige effektive Potential

V := - ∫_∞^r F(s) ds = - G m ( m_1/|r_1-r| + m_2/|r_2 - r| + M/R^3 r^2 )

betrachtet. Die Lagrangepunkte sind im Potential als lokale Extrema oder Sattelpunkte zu erkennen (da eben dort grad V = -F = 0 ist).

Seite erzeugt: Dienstag, 12.08.2008 08:24:42